Kdo platí sociální a zdravotní pojištění?

Ahojky,
prosím o radu.
Skončila mi RD a já požádala zaměstnavatele o prodloužení termínu nástupu o tři měsíce. Ten vyhověl. Nějak mi to ale nedocvaklo a zapomněla jsem si zjistit jak je to se sociálním a zdravotním pojištěním? Mám si ho ty tři měsíce platit sama, nebo to za mne platí zaměstnavatel? Případně kam se obrátit?
A ještě jeden dotázek. Pracovala jsem tam jako asistentka na plný úvazek a bylo mi řečeno, že pokud pro mne nebudou mít stejnou pozici, tak že dostanu odstupné. Zmínila jsem se, že bych mohla pouze na zkrácený úvazek, a to prý nebývá zvykem, tedy v této firmě. Jak je to v takovémto případě? Oni mi musí vyhovět, mohou se mnou rozvázat pracovní poměr? Na co mám vlastně nárok?

Děkuji mnohokrát za pomoc